Binomische Reihe

Die binomische Reihe oder Binomialreihe ist eine Potenzreihe der Form

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{k}=1+\alpha \,x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{2\cdot 3}}x^{3}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)(\alpha -3)}{2\cdot 3\cdot 4}}x^{4}+\dotsb \ }$,

wobei ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$. Ihre Koeffizienten ${\displaystyle {\tbinom {\alpha }{k}}}$ sind die verallgemeinerten Binomialkoeffizienten der Analysis.^[1]

Man erhält die binomische Reihe als (formale) Taylorentwicklung der Funktion ${\displaystyle f(x)=(1+x)^{\alpha }}$ mit Entwicklungspunkt ${\displaystyle x_{0}=0}$.

1. ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis I. 3. Auflage. Birkhäuser, 2006, ISBN 3-7643-7755-0, S. 401–402.